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Mudança de bases

Matemática

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Em vários cálculos de logaritmos ou operações envolvendo logaritmos é preciso transformar a base do logaritmo em outra, para facilitar as operações.

Para ocorrer essas transformações é preciso obedecer algumas regras e propriedades operatórias dos logaritmos.

Dado o logaritmo loga x = y de base a, para transformar o mesmo logaritmo para a base b, o logaritmo ficará assim:
logb x = z.

Calculando o valor de cada logaritmo iremos encontrar duas equações exponenciais:

loga x = y → x = ay

logb x = z → x = bz

Igualando as duas equações teremos:

ay = bz

Assim, podemos montar o seguinte logaritmo:

z = log b ay → utilizando uma das propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

z = y . log b a → substituindo z por log b x, temos:

log b x = y . log b a → substituindo y por loga x, temos:

log b x = loga x . log b a → isolando o logaritmo de base a, temos:

loga x = log b x
               log b a

Portanto, para transformar loga x em um logaritmo de base b é preciso seguir a seguinte regra:



Exemplo 1:

Para transformar log 9 45 em logaritmo na base 10 é preciso seguir a regra estabelecia acima.

Comparando log 9 45 com log a x, podemos dizer que a = 9 e x = 45 e b = 10 (que é a base que queremos transformar) substituindo na

fórmula loga x = log b x, teremos:
                              log b a

log 9 45 = log 45
                   log 9

Portanto, log 9 45 na base 10 é log 45, para obter um valor numérico é preciso calcular 
                  log 9
log 45 e log 9.

Exemplo 2:

Esse exemplo é o cálculo de um logaritmo que para ser efetuado será necessário transformar a sua base, veja:

Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,47 e log 5 = 0,69 (todos esses logaritmos estão na base 10), calcule o valor de log2 30.

Para encontrar o valor numérico de log2 30, devemos transformar a base 2 em base 10, pois o exercício ofereceu logaritmos de apoio todos de base 10.

log 2 30 = log 30 = log 5 . 3 . 2 = log 5 + log 3 + log 2 = 0,69 + 0,47 + 0,3 = 1,46 ≈ 4,86 
                   log 2           log 2                    log2                                 0,3                    0,3


Portanto, log 2 30 = 4,86.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil

Logaritmo - Matemática - Brasil Escola

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • jacksonterça-feira | 17/03/2015 18:04Hs
    Muito bom fiz uma ótima prova
  • Beatrizquarta-feira | 26/02/2014 16:20Hs
    Excelente !!!!!! Amei ..
  • bonecoterça-feira | 19/11/2013 08:16Hs
    eu gostei e quero aprender logaritimo
  • marcio santossábado | 27/04/2013 19:01Hs
    seus textos são excelentes. estão me ajudando muito e esclarecendo minhas dúvidas.obrigado.
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