Trigonometria num triângulo qualquer

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As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)

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Lei dos senos

Resolvendo a situação da figura 1, temos:

Iremos aplicar a lei dos senos

Pela tabela de razões trigonométricas:

Lei dos cossenos

a² = b² + c² - 2*b*c*cosA
b² = a² + c² - 2*a*c*cosB
c² = a² + b² - 2*a*b*cosC

Exemplo

Analise o esquema abaixo:
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?

x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5
x² = 8900 – 4000
x² = 4900
x = 70 m

Seriam gastos 70 metros de cano.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Escrito por: Gabriel Alessandro de Oliveira Professor de Matemática.

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OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Trigonometria em um Triângulo qualquer"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-num-triangulo-qualquer.htm. Acesso em 26 de agosto de 2025.

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Lista de exercícios

Exercício 1

Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.

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Exercício 2

Calcule o valor da medida x no triângulo representado pela seguinte figura:

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Exercício 3

(Unifor–CE)

Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado:

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Exercício 4

(FEI-SP)

Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC.

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Trigonometria em um Triângulo qualquer

Lista de exercícios

Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.

Calcule o valor da medida x no triângulo representado pela seguinte figura:

(Unifor–CE) Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado:

(FEI-SP) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC.

(Unifor–CE)

Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado:

(FEI-SP)

Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC.