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Sistemas Lineares

Matemática

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Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.

Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0

Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Solução de um sistema linear

Dado o sistema:

x + y = 3
x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:

x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:

O sistema:

x + y = 3
x – y = 1

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.

Matriz completa

1

1

3

1

-1

1

Matriz incompleta

1

1

1

-1

Exemplo 2

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1 10 -12 120

4

-2 -20 60
-1 1 5 10

Matriz incompleta

1

10

-12

4

-2

-20

-1

1

5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro Da. "Sistemas Lineares"; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm>. Acesso em 02 de novembro de 2015.

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Ludison Brennosexta-feira | 21/08/2015 17:15Hs
    simples! muito bom, facim.
  • paolasegunda-feira | 14/07/2014 11:17Hs
    bom
  • taciane cristisnasegunda-feira | 19/05/2014 16:25Hs
    queria que mim ajude pq o assunto da minha prova e sistema linear mas nao entra na minha cabeça de jeito nenhum
  • Rejanesegunda-feira | 21/04/2014 16:33Hs
    achei muito boa a explicação, porém sempre fico com duvida e tenho bastante dificuldade em matemática, tenho q aprender para ensinas... acho q essa é a melhor forma para tirar as duvidas... pois ainda não entendi como fazer para solucionas o dito sistema linear!
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