Quando o valor de ∆ é maior que zero ou igual a zero a equação possui duas raízes reais. Quando isso acontece podemos fazer uma relação entre essas raízes, se somarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma – b, e se multiplicarmos as duas raízes chegaremos à seguinte forma c . a
a
Agora, como chegamos a essas formas? Veja a demonstração abaixo:
A forma geral de uma equação do segundo grau é ax2 + bx + c = 0, dessa forma tiramos duas raízes:
X’ = - b + √∆ X’’ = - b - √∆
2 .a 2 .a
Se somarmos as duas raízes X’ + X’’, teremos:
X’ + X’’ = - b + √∆ + - b - √∆ → √∆ e - √∆ = 0
2 .a 2 .a
X’ + X’’ = - 2b → simplifica o 2 do numerador com o do denominador.
2a
X’ + X’’ = - b
a
Se multiplicarmos as duas raízes X’ . X’’, temos:
X’ . X’’ = (-b)2 + b√∆ - b√∆ - (√∆)2 → Eliminar os parênteses e operar termos
4a2 semelhantes.
X’ . X’’ = b2 - ∆ → ∆ = b2 – 4ac
4a2
X’ . X’’ = b2 – (b2 – 4ac) → eliminar os parênteses
4a2
X’ . X’’ = b2 – b2 + 4ac → eliminar os termos opostos.
4a2
X’ . X’’ = 4ac
4a2
X’ . X’’ = c
a
Dada a equação n2 – 7n +10 = 0, para saber qual é a soma e o produto das suas raízes não é necessário que saibamos o valor delas, basta usar as demonstrações acima:
Primeiro devemos identificar seus coeficientes a = 1 ; b = -7 ; c = 10.
X’ + X’’ = - b = - (-7) = 7
a 1
X’ . X’’ = c = 10 = 10
a 1
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matematica
Equipe Brasil Escola
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