Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.
Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.
Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.
X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
2 . a
Exemplo 1:
t2 – 6t = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = - 6
c = 0
Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 - 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - ( -6) ± √36
2 . 1
X = + 6 ± 6
2
X’ = 6 + 6 = 12 = 6
2 2
X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
2 2
Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).
Exemplo 2:
4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = - 28
c = 49
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 - 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - (-28) ± √0
2 . 4
X = 28 ± 0
8
X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
8 8
X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
8 8
Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).
Exemplo 3:
(y – 3)2 = - 1
Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:
y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = - 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0
y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10
Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = - 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)
X = - b ± √ ∆
2 . a
X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
2
Portanto, essa equação não tem raiz real.
• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação
O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:
∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.
∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.
∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
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