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Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Matemática

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As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de Moivre. Vejamos como se procede a radiciação desses números:
Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:

As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i.

Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:

Sabemos também que:


Com os valores de seno e cosseno podemos concluir que:

Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é:

Agora, vamos calcular as raízes quadradas de z utilizando a fórmula de Moivre.

Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z0 e z1.

Para k = 0, teremos

Para k = 1, teremos:

Ou

Exemplo 2. Obtenha as raízes cúbicas de z = 1∙(cosπ + i∙senπ)

Solução: Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,

Teremos três raízes distintas, z0, z1 e z2.
Para k = 0

Para k = 1

Ou z1 = – 1, pois cos π = – 1 e sen π = 0.

Para k = 2

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

Números Complexos - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIGONATTO, Marcelo. "Radiciação de números complexos na forma trigonométrica"; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm>. Acesso em 04 de novembro de 2015.

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • João Vitorsegunda-feira | 23/03/2015 16:42Hs
    Me ajudou bastante, estou lendo os Fundamentos da Matemática Elementar e não tinha entendi muito bem essa parte. Obrigado.
  • Rafael Paivaquinta-feira | 17/04/2014 18:50Hs
    Excelente didática. Muito bem explicado. Obrigado!
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