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Propriedades dos Determinantes

Matemática

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As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:

1ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.


3ª propriedade

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.

4ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P

5ª propriedade

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

det (k*A) = kn * det A



6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).

det R = ps -- qr

det Rt = ps – rq


7ª propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.



8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi. 



 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Matriz e Determinantes - Matemática - Brasil Escola 

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Nathalie Portodomingo | 14/09/2014 15:50Hs
    Gostei de explicação! simples e clara, da para entender muito bem, só fiquei na dúvida com a propriedade número 5 . não entendi o n...
    • Amanda Gonçalves Ribeirosegunda-feira | 15/09/2014 13:27Hs
      Olá Nathalie! Em resumo, a propriedade 5 afirma que se multiplicarmos todos os elementos da matriz por um número qualquer, então o determinante dessa matriz também será multiplicado por este número.
      Equipe Brasil Escola
      25 27
    • Nilton Rodolfoquarta-feira | 11/03/2015 09:13Hs
      Nathalie, nesse caso, "n" é a ordem da matriz quadrada. Por exemplo, se A for uma matriz 2x2, n = 2; se B for uma matriz 3x3, n = 3; e se C for uma matriz 4x4, n = 4. Então, temos: det (kA) = k^2 det(A); det (kB) = k^3 det(B) e det (kC) = k^4 det(C). (O símbolo "^" significa "elevado" na notação que utilizei.) Bom dia.
      26 19
    • Juan de Souzasexta-feira | 01/05/2015 05:57Hs
      Também tive a mesma dúvida da Nathalie. Obrigado ao Nilton por ter solucionado!
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