A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
→ Grandezas inversamente proporcionais.
→ Grandezas diretamente proporcionais.
►Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que:
São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra.
Veja alguns exemplos:
Enquanto uma torneira enche um tanque, mede-se a altura da água de quando em quando. Observe os dados da tabela.
| Tempo (min) | 12 | 24 | 36 | 48 |
| Altura (cm) | 25 | 50 | 75 | 100 |
a) Quando o tempo passa de 12 para 48 min, em que razão ele varia? E a altura? Essas razões são iguais?
b) Quando o tempo passa de 12 para 36 min, em que razão ele varia? E a altura? Essas razões são iguais?
Resolução:
De 12 min até 48 min temos a razão de 12 simplificando a razão temos que:
48
12 = 1.
48 4
De 12 min até 48 min olhando a grandeza altura a razão será de 25 simplificando a
100
a razão teremos: 25 = 1.
100 4
De 12 min até 48 min temos uma razão de 12 simplificando a razão temos:
36
12 = 1
36 3
De 12 min até 48 min olhando a grandeza altura temos a razão de 25 simplificando
48
a razão temos: 25 = 1.
48 3
Podemos concluir que as grandezas (tempo e altura) nessa situação problema são diretamente proporcionais.
Se um carro percorre, em média, 90 km com 10L de álcool, esse carro consumirá 30L de álcool, para percorrer 270 km. Relacione os espaços percorridos com quantidade de álcool consumido para percorrê-los.
Observe que quanto mais gasolina ele gastou mais quilômetros ele havia percorrido.
Esquematizando isso ficará assim:
Passando as informações para forma de razão teremos:
90 = 10 as duas razões são iguais (proporcionais), pois o produto dos
270 30 meios é igual ao produto dos extremos.
Fazendo o produto temos:
Teremos: 90 . 30 = 270 . 10 resolvendo as multiplicações 2700 = 2700 realmente podemos concluir que as grandezas são proporcionais.
As grandezas quilometro e volume de gasolina nessa situação são diretamente proporcionais, pois crescem juntas.
►Grandezas inversamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra.
Veja o exemplo abaixo:
Vários homens revestem uma parede e trabalham igualmente: um deles pode fazer todo o serviço em 24 horas; dois podem revesti-la em menor tempo; três ou quatro, em menos tempo ainda. Organizando numa tabela com as grandezas homem e horas, verifiquemos se são direta ou inversamente proporcionais.
| Homem | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Horas | 24 | 12 | 8 | 6 |
Se observarmos as grandezas iremos ver que quanto maior o número de homens menos tempo eles gastaram para fazer o serviço. Podemos dizer que as duas grandezas são inversas. Agora vamos provar que são proporcionais, para isso as suas razões nas duas grandezas devem ser iguais.
Se de 1 a 3 homens trabalharem a razão será 1.
3
A razão das horas de trabalho em relação a 1 a 3 homens trabalhando será de:
24 como é inversamente ficará 12 simplificando a razão teremos 12 = 1.
12 24 24 3
Podemos concluir que são inversamente proporcionais
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
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