PG - progressão geométrica

A PG - progressão geométrica é uma sequência numérica em que existe uma razão fixa q, e cada termo, a partir do primeiro, é obtido multiplicando-se o termo anterior por essa razão. Ela pode ser classificada quanto à quantidade de termos e quanto ao comportamento dos termos.

De acordo com o valor de q, a PG pode ser classificada de diferentes formas: será crescente quando a razão for maior que 1; decrescente, quando a razão estiver entre 0 e 1; constante, se a razão for igual a 1; e oscilante, quando a razão for um número negativo, fazendo com que os termos alternem sinais. A sequência pode ser finita, quando apresenta um número limitado de termos, ou infinita, caso não tenha fim.

Leia também: Afinal, o que são as progressões?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre PG - progressão geométrica
• 2 - O que é PG - progressão geométrica?
  • → Tipos de PG
• 3 - Como calcular a PG?
• 4 - Termo geral de uma PG
• 5 - Diferenças entre PA e PG
• 6 - Exercícios resolvidos sobre PG - progressão geométrica

Resumo sobre PG - progressão geométrica

• Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma razão constante.
• Essa razão é chamada de razão da PG, representada por q.
• A PG pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante, dependendo do valor da razão.
• A sequência pode ser finita, quando apresenta um número limitado de termos, ou infinita, caso não tenha fim.
• Existem fórmulas específicas para calcular termos e somas de PGs finitas.
• A fórmula do termo geral da PG é:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

• Para calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, utilizamos a fórmula:

$S_n=a_ 1\cdot \frac{q^{n-1}}{q-1} \text{(para q ≠ 1)}$

• Além da progressão geométrica, existe a progressão aritmética, em que, em vez de multiplicar-se o termo anterior pela razão, realiza-se uma adição.

O que é PG - progressão geométrica?

PG (progressão geométrica) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por um mesmo valor fixo chamado de razão e representado pela letra q.

Podemos observar sequências que se comportam como progressões geométricas no nosso cotidiano, como a proliferação de vírus e epidemias, o crescimento de um montante investido sob juros compostos, a capacidade de armazenamento de memórias de computadores, e o crescimento populacional. De modo geral, se você tem um número inicial e multiplica-o por um valor fixo toda vez, você formará uma PG.

• Exemplos:
  • Progressão geométrica com termo inicial a1=1 e razão q = 2

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)

• • Progressão geométrica com termo inicial a1=5 e razão q=3

(5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, ...)

• • Progressão geométrica com termo inicial a1=120 e razão q=12

(120; 60; 30; 15; 7,5; 3,75; 1,875, ...)

→ Tipos de PG

Uma progressão geométrica pode ser classificada de duas formas principais.

• Tipos de PG quanto à quantidade de termos

• PG finita: tem um número limitado de termos.
• PG infinita: tem infinitos termos, ou seja, a sequência continua indefinidamente.

• Tipos de PG quanto ao comportamento dos termos

• Crescente: quando a razão q > 1 e os termos aumentam progressivamente. Exemplo:

(2, 6, 18, 54, 162, ...) → PG de razão 3 e termo inicial 2.

• Decrescente: quando 0 < q < 1, resultando em termos cada vez menores. Exemplo:

$(108,\ 36,\ 12,\ 4,\ \tfrac{4}{3},\ \tfrac{4}{9},\ \tfrac{4}{27},\ \ldots)$ → PG de razão 1/3 e termo inicial 108.

• Constante: quando q = 1, todos os termos da sequência são iguais. Exemplo:

(3, 3, 3, 3, 3, ...) → PG de razão 1 e termo inicial 3.

• Oscilante: quando q < 0, os termos alternam sinais (positivo, negativo, positivo...). Exemplo:

(3, -6, 12, -24, 48, -96,…) PG de razão -2 e termo inicial 3.

Como calcular a PG?

Para calcular a PG, é necessário conhecer o termo inicial e a razão; e, para encontrar os próximos termos, basta multiplicar a razão da PG pelo termo anterior.

Exemplo:

Monte a PG com razão 2 e termo inicial igual a 4.

Resolução:

Temos que:

a₁ = 4

a₂ = 4 · 2 = 8

a₃ = 8 · 2 = 16

a₄ = 16 · 2 = 32

a₅ = 32 · 2 = 64

a₆ = 64 · 2 = 128

Então podemos descrever a PG como:

(4, 8, 16, 32, 64, 128,…)

Termo geral de uma PG

O termo geral de uma PG é a fórmula que utilizamos para encontrar qualquer termo da progressão sem necessariamente calcular o termo anterior. A fórmula do termo geral da PG é:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

• a_n → o n-ésimo termo da PG
• a₁ → primeiro termo da PG
• q → razão da PG
• n → posição do termo na sequência

 Exemplo:

Encontre o sexto termo de uma PG cujo termo inicial é igual a 3 e a razão é 4.

Resolução:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Sabemos que:

a₁ = 3, q = 4 e n = 6

Então temos que:

$a_6 = 3 \cdot 4^{6-1} \\ a_6 = 3 \cdot 4^5\\ a_6 = 3 \cdot 1024\\ a_6 = 3072$

Soma dos termos de uma PG

Para calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, utilizamos a fórmula:

$S_n=a_ 1\cdot \frac{q^{n-1}}{q-1} \text{(para q ≠ 1)}$

• S_n → soma dos termos da PG
• a₁ → primeiro termo da PG
• q → razão da PG
• n → quantidade de termos que serão somados a partir do primeiro termo da PG.

Exemplo:

Qual é o valor da soma dos 4 primeiros termos da PG com razão 3 e termo inicial igual a 2?

Resolução:

Dada a fórmula:

$S_n=a_ 1\cdot \frac{q^{n-1}}{q-1}$

Temos que:

n = 4

q = 3

a₁ = 2 

$S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} \\ S_4 = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} \\ S_4 = 2 \cdot \frac{80}{2} \\ S_4 = 80$

Diferenças entre PA e PG

A principal diferença entre uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) está na maneira como seus termos são formados:

• Progressão aritmética (PA): a partir do primeiro termo, uma razão r é somada continuamente.
• Progressão geométrica (PG): a partir do primeiro termo, uma razão q é multiplicada.

Exemplo comparativo:

Vamos considerar o mesmo termo inicial a1=2 e a mesma razão 3, tanto para a PA quanto para a PG.

• PA (progressão aritmética):

(2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)
(Soma-se 3 a cada termo.)

• PG (progressão geométrica):

(2, 6, 18, 54, 162, 486, …)
(Multiplica-se por 3 a cada termo.)

Apesar de começarem iguais, a PG cresce muito mais rápido do que a PA. Isso ocorre porque a PA tem crescimento linear, enquanto a PG tem crescimento exponencial. Esse tipo de comparação é útil para entender qual tipo de progressão se aplica melhor no cotidiano.

Acesse também: Como é feita a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA)?

Exercícios resolvidos sobre PG - progressão geométrica

Questão 1

Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 3 e razão igual a 2. Qual é o valor do quinto termo dessa PG?

A) 24
B) 30
C) 36
D) 48
E) 96

Resolução:

Alternativa D.

Calculando o quinto termo pela fórmula do termo geral, temos que:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Dados:

n: 5, a₁=3 e q: 2

Então temos que:

$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \\ a_5 = 3 \cdot 2^4 \\ a_5 = 3 \cdot 16 \\ a_5 = 48$

Questão 2

Heitor decidiu economizar dinheiro colocando R$ 50 em um cofrinho no primeiro mês. No segundo mês, ele dobrou o valor depositado. No terceiro mês, novamente dobrou o valor do mês anterior, e assim por diante, formando uma progressão geométrica. Qual será o valor total economizado por Heitor ao final de 4 meses?

A) R$ 780
B) R$ 750
C) R$ 720
D) R$ 700
E) R$ 650

Resolução:

Alternativa B.

Temos uma PG com:

a₁ = 50, q = 2 e n = 4

Usamos a fórmula da soma dos termos da PG:

$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \\ S_4 = 50 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \\ S_4 = 50 \cdot \frac{16 - 1}{1} \\ S_4 = 50 \cdot 15\\S_4 = 750$

Fontes

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações – volume único. São Paulo: Ática, 2010.

GELSON, Iezzi et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.