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Progressão Geométrica

Matemática

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Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2


O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

An = A1 * qn-1

Com base nessa expressão, temos que:

a2 = a1 * q
a3 = a1 * q2
a5 = a1 * q4
a10 = a1 * q9
a50 = a* q49
a100 = a* q99

Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a8 = 4 * 37
a8 = 4 * 2187
a8 = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.

a20 = 3 * 319
a20 = 3 * 1.162.261.467
a20 = 3.486.784.401

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Sn = A1 * (qn - 1)
          q - 1


Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

SnA1 * (qn - 1)
             q - 1

Sn = 3 * (320 - 1)
             3 - 1

Sn = 3 * (3.486.784.401 - 1)
                       ​2 

Sn = 10.460.353.200
                  ​2 

Sn = 5.230.176.600

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Sn = 98 * (1,0212 - 1)
              1,02 - 1

Sn = 98 * (1,26824179 - 1)
                    0,02

Sn = 98 * 0,26824179
                 0,02

Sn = 1.314,39


Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a R$ 1.314,39.

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIGONATTO, Marcelo. "Progressão Geométrica"; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/progressao-geometrica.htm>. Acesso em 05 de novembro de 2015.

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Josiely Oliveiraterça-feira | 11/08/2015 13:26Hs
    Tenho an=2.2^n-1 porque em seguida o numero 2 some e fica assim 2^n-1+1
  • Regina Cassiaquarta-feira | 20/05/2015 17:08Hs
    ola pode me ajudar a resolver esta questao ,calcule a soma dos 13 primeiros termos da pg (02,06,18,...)
  • Polado Fulquarta-feira | 22/04/2015 22:19Hs
    4 . 37 = 2187? Sabem mesmo de matematica hein !
    • Dalila Rodrigues Matiassexta-feira | 24/04/2015 16:21Hs
      Olá. A conta é 4 vezes 3 elevado a 7 que é igual a 2187. Você interpretou da maneira errada.
      Equipe Brasil Escola
      80 54
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