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Passos para solucionar equações biquadradas

Para solucionar equações biquadradas devemos utilizar uma mudança que nos auxilia a encontrar uma equação do 2º grau. O conjunto solução dessa equação do 2º grau é utilizado de acordo com a mudança feita na incógnita. Passos como esse serão explicitados no texto.

Óculos em cima de um caderno com resoluções de equações biquadradas
Passos para solucionar equações biquadradas
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As equações biquadradas são aquelas que possuem grau 4, ou equações do 4º grau, cujos expoentes são pares, como constataremos logo mais. Portanto, uma condição indispensável é não existir expoentes ímpares na equação a ser resolvida.
Vejamos a forma geral de uma equação biquadrada:

Note que os expoentes da incógnita são expoentes pares (quatro e dois); esse fato é importante para que possamos realizar os passos de nossa resolução. Caso você se depare com uma equação do 4º grau que não seja escrita dessa forma (apenas com expoentes pares), os passos que utilizaremos não poderão ser aplicados. Veja um exemplo de uma equação do 4º grau que não é biquadrada:

A expressão que temos para resolver equações de maneira mais fácil é feita apenas para equações do 2º grau, portanto devemos encontrar uma maneira de transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Para isso, veja uma maneira diferente de escrever a equação:

A incógnita pode ser escrita de maneira a aparecer a parte literal semelhante (x²). Partindo disso veremos os passos da resolução de uma equação biquadrada.

1) Substituir a incógnita da equação (no nosso exemplo é incógnita x), x², por outra incógnita, ou seja, por outra letra.

Faça a seguinte relação: x2=y. Com isso você estará substituindo os elementos da equação biquadrada nos quais aparece x2, pela incógnita y. Como consequência desse fato: x4=y2 e x2=y. Veja como ficaria a nossa equação:

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Sendo assim, temos uma equação do 2º grau, que possui ferramentas próprias para sua resolução. Raiz de uma Equação do 2º Grau , Equação do 2º Grau
 

2) Obter o conjunto solução da equação do 2º grau.

Lembre-se que o conjunto solução dessa equação não representa a solução da equação biquadrada, pois ela remete à equação na incógnita y. Entretanto, a solução dessa equação do 2º grau é de grande importância para o próximo passo.
 

3) De acordo com a relação feita no primeiro passo, x2=y, cada solução da incógnita y equivale à incógnita x2. Portanto, devemos calcular essa relação, substituindo as raízes de y na igualdade x2=y.

Vejamos um exemplo:

Encontre as raízes da seguinte equação: x4 – 5x2 – 36 = 0

Faça x2=y. Com isso obteremos uma equação do 2º grau na incógnita y.

Resolva essa equação do 2º grau:


Devemos relacionar as duas raízes da equação em Y, com a equação x2=y.
Temos dois valores, portanto iremos avaliar cada raiz separadamente.

• y = 9;

• y = – 4;

Não existe nenhum valor de x que pertença ao conjunto dos números reais que satisfaça a igualdade acima, portanto as raízes (o conjunto solução) da equação x4 – 5x2 – 36 = 0 são os valores x = 3 e x = –3.

 

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

 

 

Escritor do artigo
Escrito por: Gabriel Alessandro de Oliveira Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Passos para solucionar equações biquadradas"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/passos-para-solucionar-equacoes-biquadradas.htm. Acesso em 29 de março de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(CMRJ) Dada a equação x4 + 4x2 - 45=0, podemos afirmar que:

a) tal equação possui 4 raízes reais.

b) duas de suas raízes são números racionais.

c) a soma das suas raízes reais é igual a −4.

d) o produto das suas raízes reais é igual a −5.

e) o produto das suas raízes reais é igual a −45.

Exercício 2

Resolva a equação 2x4 – 20x2 – 12 = 0.