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Passos para solucionar equações biquadradas

Matemática

Para solucionar equações biquadradas devemos utilizar uma mudança que nos auxilia a encontrar uma equação do 2º grau. O conjunto solução dessa equação do 2º grau é utilizado de acordo com a mudança feita na incógnita. Passos como esse serão explicitados no texto.

As equações biquadradas são aquelas que possuem grau 4, ou equações do 4º grau, cujos expoentes são pares, como constataremos logo mais. Portanto, uma condição indispensável é não existir expoentes ímpares na equação a ser resolvida.
Vejamos a forma geral de uma equação biquadrada:

Note que os expoentes da incógnita são expoentes pares (quatro e dois); esse fato é importante para que possamos realizar os passos de nossa resolução. Caso você se depare com uma equação do 4º grau que não seja escrita dessa forma (apenas com expoentes pares), os passos que utilizaremos não poderão ser aplicados. Veja um exemplo de uma equação do 4º grau que não é biquadrada:

A expressão que temos para resolver equações de maneira mais fácil é feita apenas para equações do 2º grau, portanto devemos encontrar uma maneira de transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Para isso, veja uma maneira diferente de escrever a equação:

A incógnita pode ser escrita de maneira a aparecer a parte literal semelhante (x²). Partindo disso veremos os passos da resolução de uma equação biquadrada.

1) Substituir a incógnita da equação (no nosso exemplo é incógnita x), x², por outra incógnita, ou seja, por outra letra.

Faça a seguinte relação: x2=y. Com isso você estará substituindo os elementos da equação biquadrada nos quais aparece x2, pela incógnita y. Como consequência desse fato: x4=y2 e x2=y. Veja como ficaria a nossa equação:

Sendo assim, temos uma equação do 2º grau, que possui ferramentas próprias para sua resolução. Raiz de uma Equação do 2º Grau , Equação do 2º Grau
 

2) Obter o conjunto solução da equação do 2º grau.

Lembre-se que o conjunto solução dessa equação não representa a solução da equação biquadrada, pois ela remete à equação na incógnita y. Entretanto, a solução dessa equação do 2º grau é de grande importância para o próximo passo.
 

3) De acordo com a relação feita no primeiro passo, x2=y, cada solução da incógnita y equivale à incógnita x2. Portanto, devemos calcular essa relação, substituindo as raízes de y na igualdade x2=y.

Vejamos um exemplo:

Encontre as raízes da seguinte equação: x4 – 5x2 – 36 = 0

Faça x2=y. Com isso obteremos uma equação do 2º grau na incógnita y.

Resolva essa equação do 2º grau:


Devemos relacionar as duas raízes da equação em Y, com a equação x2=y.
Temos dois valores, portanto iremos avaliar cada raiz separadamente.

• y = 9;

• y = – 4;

Não existe nenhum valor de x que pertença ao conjunto dos números reais que satisfaça a igualdade acima, portanto as raízes (o conjunto solução) da equação x4 – 5x2 – 36 = 0 são os valores x = 3 e x = –3.

 

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

 

 

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Lucas Santosquinta-feira | 06/11/2014 19:17Hs
    Ajudou bastante! Pois tenho uma prova amanhã e não tinha entendido a equação biquadrada
  • Samara Elioenaiquinta-feira | 28/08/2014 15:33Hs
    adorei me ajudou bastante
  • Lucasquinta-feira | 21/08/2014 13:43Hs
    Alguem sabe me dizer se quando tiver um x elevado a 3 como resolve. Obrigado.
    • Amanda Gonçalves Ribeirosexta-feira | 22/08/2014 13:29Hs
      Olá Lucas! Quando tiver um x³ experimente colocar o x em evidência. Por exemplo, para a equação x³ + 2x² + 3x = 0, colocando o x em evidência teremos: x. (x² + 2x + 3) = 0. Neste caso você poderá ter três soluções, sendo que uma será x = 0, para conseguir as demais soluções você pode utilizar a fórmula de bhaskara para resolver a equação que está entre os parênteses.
      Equipe Brasil Escola
      19 13
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