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Números Binomiais

Matemática

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Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.

(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 =  x3 +3x2y + 3xy2 + y3

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)4 = (x + y)(x + y)3 = (x + y)*( x3 +3x2y + 3xy2 + y3)
x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 + x3y + 3x2y2 + 3xy3 + y4
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:


com n Є N, m Є n e m ≤ n.

Situações particulares


Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)n

Triângulo de Pascal

Os coeficientes binomiais podem ser organizados num triângulo denominado triângulo de Pascal ou de Tartaglia.

Note na organização do triângulo, pois os numeradores iguais se encontram numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:


Soma dos elementos por linha no triângulo de Pascal:

Linha 1 = 1 = 20
Linha 2 = 1 + 1 = 2¹
Linha 3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2²
Linha 4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
Linha 5 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Linha 6 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

e assim sucessivamente.

Binômio de Newton

Vamos substituir os termos x por a e y por b na expressão (x + y)n no intuito de diferenciar os elementos da expressão da parte literal dos polinômios que serão apresentados e trabalhados, passando a ter a expressão
(a + b)n .
De acordo com o binômio de Newton, temos a seguinte forma geral para o desenvolvimento das expressões na forma (a + b)n, com n > 3:

Desenvolva (4x + 2)5 utilizando o binômio de Newton.

1*1024x5 * 1 + 5*256x4 * 2 + 10*64x3 * 4 + 10*16x2 * 8 + 5*4x * 16 + 1*1 * 32

1024x5 + 2560x4 + 2560x3 + 1280x2 + 320x + 32

(4x + 2)5 = 1024x5 + 2560x4 + 2560x3 + 1280x2 + 320x + 32
 

 Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Binômio de Newton - Matemática - Brasil Escola

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Humberto Juniorquinta-feira | 14/05/2015 19:06Hs
    Muito obrigado ao site e a equipe do Brasil Escola, contribuíram bastante no meu aprendizado
  • Jozivaldosábado | 05/04/2014 09:23Hs
    Muito bom e gostaria de receber atualizações e/ou notícias por e-mail.
  • Ferreiraquinta-feira | 06/03/2014 11:17Hs
    É fantástico
  • juniorquinta-feira | 09/05/2013 19:16Hs
    texto muito
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