Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é feita por meio de um algoritmo que exige bastante atenção. Para que exista o produto entre a matriz A e a matriz B, é necessário que o número de colunas da primeira matriz, no caso A, seja igual ao número de linhas da segunda matriz, no caso B.

A partir da multiplicação entre matrizes, é possível compreender o que é a matriz identidade, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, e o que é a matriz inversa da matriz M, que é a matriz M^-1 cujo produto de M por M^-1 é igual à matriz identidade. Também é possível a multiplicação de uma matriz por um número real — nesse caso, multiplicamos cada um dos termos da matriz pelo número.

Leia também: O que é uma matriz triangular?

Tópicos deste artigo

• 1 - Condição de existência
• 2 - Como calcular o produto entre duas matrizes?
• 3 - Matriz identidade
• 4 - O que é a matriz inversa?
• 5 - Multiplicação da matriz por um número real
• 6 - Exercícios resolvidos

Condição de existência

Para multiplicar duas matrizes, primeiramente é necessário verificar a condição de existência. Para que o produto exista, o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Além disso, o resultado da multiplicação é uma matriz que possui o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Por exemplo, o produto AB entre as matrizes A_3x2 e B_2x5 existe, pois o número de colunas de A (2 colunas) é igual ao número de linhas de B (2 linhas), e o resultado é a matriz AB_3x5. Já produto entre as matrizes C_3x5 e a matriz D_2x5 não existe, pois C possui 5 colunas e D possui 3 linhas.

Como calcular o produto entre duas matrizes?

Para realizar a multiplicação de matrizes, é necessário seguir algumas passos. Faremos um exemplo da multiplicação de uma matriz algébrica A_2x3 pela matriz B_3x2

Sabemos que o produto existe, pois a matriz A possui 3 colunas, e a matriz B, 3 linhas. Chamaremos de C o resultado da multiplicação A·B. Além disso, também sabemos que o resultado é uma matriz C_2x2, pois a matriz A tem 2 linhas, e a matriz B, 2 colunas.

Para calcular o produto entre a matriz A_2x3 e a matriz B_3x2, vamos seguir alguns passos.

Primeiramente encontraremos cada um dos termos da matriz C_2x2:

Para encontrar os termos, vamos relacionar sempre as linhas da matriz A com as colunas da matriz B:

c₁₁ → 1ª linha de A e 1ª coluna de B
c₁₂ → 1ª linha de A e 2ª coluna de B
c₂₁ → 2ª linha de A e 1ª coluna de B
c₂₂ → 2ª linha de A e 2ª coluna de B

Calculamos cada um dos termos fazendo a multiplicação entre os termos da linha de A e os termos da coluna de B. Agora devemos somar esses produtos, começando por c_11:

1ª linha de A
1ª coluna de B

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ + a₁₃·b₃₁

Calculando c₁₂:

1ª linha de A
2ª coluna de B

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂+a₁₃·b₃₂

Calculando c₂₁:

2ª linha de A
1ª coluna de B

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁+a₂₃·b₃₁

Calculando o termo c₂₂:

2ª linha de A
2ª coluna de B

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂+a₂₃·b₃₂

Sendo assim, a matriz C é formada pelos termos:

Exemplo:

Vamos calcular a multiplicação entre as matrizes A e B.

Sabemos que, em A_2x2 e B_2x3, o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, então o produto existe. Assim, faremos C = A· B e sabemos que C_2x3.

Multiplicando, temos que:

Veja também: O que é uma matriz transposta?

Matriz identidade

Na multiplicação entre matrizes, existem alguns casos especiais, como a matriz identidade, que é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes. A matriz identidade é uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas é sempre igual ao número de colunas. Além disso, nela somente os termos da diagonal são iguais a 1, e os demais termos são todos iguais a zero. Quando multiplicamos uma matriz M pela matriz identidade I_n, temos que:

M · I_n = M

Exemplo:

O que é a matriz inversa?

Dada uma matriz M, conhecemos como matriz inversa de M a matriz M^-1 cujo produto M · M^-1 é igual à matriz identidade I_n. Para que uma matriz tenha inversa, ela precisa ser quadrada, e seu determinante tem que ser diferente de 0. Vejamos exemplos de matrizes que são inversas:

Calculando o produto A·B, temos que:

Note que o produto entre A e B gerou a matriz I₂. Quando isso acontece, dizemos que B é a matriz inversa de A. Para saber mais detalhes sobre esse tipo de matriz, leia: Matriz inversa.

Multiplicação da matriz por um número real

Diferente da multiplicação entre matrizes, existe também a multiplicação da matriz por um número real, que é uma operação bem mais simples de encontrar a solução.

Dada uma matriz M, a multiplicação da matriz por um número real k é igual à matriz kM. Para encontrar essa matriz kM, basta multiplicar todos os termos da matriz pela constante k.

Exemplo:

Se k = 5 e considerando a matriz M a seguir, encontre a matriz 5M.

Multiplicando:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Unitau) Dadas as matrizes A e B,

o valor do elemento c₁₁ da matriz C = AB é:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Resolução

Alternativa A.

Como queremos o termo c₁₁, vamos multiplicar os termos da primeira linha e de A com os termos da primeira coluna de B.

Calculando c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Questão 2 - (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4×4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela pela matriz:

Resolução

Alternativa E.

A média nada mais é do que a soma dos elementos dividida pela quantidade de elementos. Note que há 4 notas por linha, então a média seria a soma dessas notas dividida por 4. Dividir por 4 é o mesmo que multiplicar pela fração ¼. Além disso, a matriz das notas é uma matriz 4x4, então temos que multiplicar por uma matriz 4x1, ou seja, que possui 4 linhas e 1 coluna, para encontrar a matriz que tem a média das notas.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática