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Geratriz de uma Dízima Periódica

Matemática

Toda dízima periódica é resultado da divisão de um numerador pelo denominador de uma fração. Essa fração é chamada de “Fração Geratriz”.
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Ao estudar o conjunto dos Números Racionais, encontramos algumas frações que, ao serem convertidas em números decimais, tornam-se dízimas periódicas. Para realizar essa transformação, devemos dividir o numerador da fração pelo seu denominador, como no caso da fração Fração de 2 dividido por 3. Do mesmo modo, através de uma dízima periódica, podemos encontrar a fração que lhe deu origem. Essa fração é chamada de “Fração Geratriz”.

Em qualquer dízima periódica, o número que se repete é chamado de período. No exemplo dado, temos uma dízima periódica simples, e o período é o número 6. Através de uma equação simples, podemos encontrar a fração geratriz de 0,6666

Primeiramente, podemos afirmar que:

= 0,666...

A partir daí, verificamos quantos algarismos possui o período. Nesse caso, o período possui um algarismo. Vamos então multiplicar ambos os lados da equação por 10, caso o período tivesse 2 algarismos, multiplicaríamos por 100, no caso de 3 algarismos, por 1000, e assim sucessivamente. Então, teremos:

10x = 6,666...

No segundo membro da equação, podemos desmembrar o número 6,666… em um número inteiro e em outro decimal da seguinte forma:

10 x = 6 + 0,666...

Todavia, logo no início afirmamos que x = 0,666..., então podemos substituir a parte decimal na equação por x e ficaremos com:

10 x = 6 + x

Utilizando as propriedades básicas de equações, podemos então mudar a variável x do segundo para o primeiro lado da equação:

10 x - x = 6

Resolvendo a equação, teremos:

x = 6

x =   6  
      9

Simplificando a fração por 3, temos:

x =   2  
      3

Logo, x é igual 2 sob 3 , ou seja, dois terços é a fração geratriz da dízima periódica 0,6666... .

Vejamos quando temos uma dízima periódica composta, como no caso de 0,03131… Iniciaremos do mesmo modo:

= 0,03131...

A fim de deixar essa igualdade mais semelhante com a do exemplo anterior, precisamos alterá-la para que não tenhamos nenhum número entre o sinal de igualdade e o período. Para isso, vamos multiplicar a equação por 10:

10 = 0,313131... ***

Seguindo o raciocínio utilizado no primeiro exemplo, temos que a dízima periódica possui período com dois algarismos, vamos então multiplicar a equação por 100.

1000 = 31,313131...

Agora basta desmembrar a parte inteira da decimal, no segundo membro da igualdade.

1000 x = 31 + 0,313131...

Mas por ***, temos que 10 = 0,313131..., vamos então substituir o número decimal por 10 x.

1000 = 31 + 10 x

1000 x - 10 x = 31

990 = 31

x =    31   
      990

Então, a fração geratriz de 0,0313131… é    31   . Essa regra pode ser aplicada para todas as dízimas periódicas.
                                                                     990


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • rebecasexta-feira | 06/03/2015 00:02Hs
    me ajudou bastante,mesmo
  • Thonny Nogueirasexta-feira | 23/05/2014 15:11Hs
    Excelente explicação!!
  • evellyquinta-feira | 13/03/2014 23:07Hs
    Bom ajudou muito!
    • Hana Cavalcantedomingo | 06/04/2014 20:47Hs
      Prá quem não gosta de matemática com eu,,, até que vocês facilitam de maneira clara o conteúdo¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬.Gostel! ;)
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