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Função trigonométrica do arco metade

O cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula do cosseno do arco duplo (cos ²β = cos² β – sen² β) e a relação fundamental da trigonometria (sen² β + cos² β = 1).

Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.

• Cos (x/2).

Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen² β por sen² β = 1 - cos² β, teremos:

cos ² β = cos² β – 1 - cos² β = 2cos² β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x =2cos² (x/2) – 1

Isolando cos² (x/2), teremos:

cos² (x/2) = cos x + 1
                            2

Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

• Sen x/2

Sabendo que cos ²β = cos² β – sen² β, substituindo cos² β por cos² β = 1 - sen² β, teremos:

cos ² β = 1 - sen² β - sen² β = 1- 2sen² β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x = 1- 2 sen² (x/2)

Isolando sen² (x/2), teremos:

sen² (x/2) = 1 - cos x
                           2

Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

• Tg (x/2)

Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
                                     cos β

Tg (x/2) = sen (x/2).
                  cos (x/2)

Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula: