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Equação logarítmica

Para existir uma equação qualquer é preciso ter uma igualdade e pelo menos uma incógnita.

Uma equação será logarítmica se a incógnita estiver tanto no logaritmando ou na base ou nos dois e o conjunto solução obedecer às seguintes condições de existência do logarítmico:

A base dele seja positiva e diferente de 1.

O logarítmando deve ser maior que 0.

Veja alguns exemplos de equações logaritmas:

log₅ (x + 5) = 10

log ₂x = 5

log _{x + 1} 10 = 5

Para resolver essas equações, ou seja, encontrar o conjunto solução (conjunto verdade) é preciso verificar as condições de existência antes de iniciar a resolução.

Exemplo 1:

log ₃ (x – 9) = 4

Condição de existência:
x – 9 > 0
x > 9

Para que a solução seja correta o valor da incógnita x deverá ser maior que 9.

log ₃ (x – 9) = 4

34 = x – 9

81 = x - 9

81 + 9 = x

90 = x

Como o valor encontrado para x satisfaz a condição de existência, pois 90 é maior que 9, então o conjunto verdade dessa equação logarítmica é:

V = {90}

Exemplo 2:
log _{x + 2} (2x² + x) = 1

Condição de existência:

2x² + x > 0

x + 2 ≠ 1 e x + 2 > 0

Calculando cada condição:

2x² + x > 0
2x² + x = 0
x(2x + 1) = 0
x’ = 0
x” = -1
         2

x < -1 e x > 0
        2

x + 2 > 0 e x + 2 ≠ 0
x > - 2 x ≠ - 2

Para que a solução seja verdadeira ela deverá assumir as seguintes condições:
x > 0 ou -2 < x < - 1 com x ≠ -1
                                                   2

log x + 2 (2x² + x) = 1

(x + 2)¹ = 2x² + x

x + 2 = 2x² + x

2x² + x – x – 2 = 0

2x² – 2 = 0

2x² = 2

x²= 2 : 2

x² = 1

x = ±√1

x = ± 1

Encontramos dois valores para a incógnita x, mas apenas x = 1 satisfaz todas as condições de existência.

Portanto, como o conjunto solução de equação satisfaz a condição de existência, podemos dizer que o conjunto solução da equação logarítmica log _{x + 2} (2x²+ x) = 1
é:

V = {1}.