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Geometria Analítica

Matemática

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A Geometria Analítica foi criada por René Descartes (1596 – 1650), no intuito de relacionar a álgebra com a Geometria, possibilitando um estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Com o auxílio da Geometria Analítica (GA) podemos, através de métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e de figuras. No estudo da GA trabalharemos constantemente com o Plano Cartesiano.

Distância entre dois pontos

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos.


Ao analisarmos a construção acima podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC      xB – xA
Cateto: segmento BC      yB – yA
Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (xB – xA)² + (yB – yA

Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.



Podemos notar que no eixo x a distância entre xA:xM e xM:xB são iguais e no eixo y a distância entre yA:yM e yM:yB são iguais.

Podemos concluir que:

Para constatarmos se três pontos estão alinhados, podemos montar a seguinte matriz dos coeficientes:

x1      y1            1

x2      y2           1

x3      y3           1

   =0

Calculando o determinante e obtendo igualdade 0, podemos afirmar que os pontos estão alinhados.


Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.


A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.

Exemplo 2
Verifique se os pontos P(2,3), Q(1,5) e R(6,2) estão alinhados.

x1    y1    1

x2    y2    1

x3    y3    1

  = 0    

2      3        1       

1      5        1

6      2        1

= 0

Calculando D (determinante):
[10 + 18 + 2 – 30 – 3 – 4]
30 – 30 – 3 – 4
– 3 – 4
– 7

Temos que o D = – 7 e –7 ≠ 0. Portanto, os pontos P, Q e R não estão alinhados.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Analítica - Matemática - Brasil Escola

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • marcio de paula martinssexta-feira | 06/03/2015 15:04Hs
    Muito bem organizado,bem explicado.
  • Joelma Silva de Souzadomingo | 01/02/2015 14:23Hs
    Excelente, os exemplos foram objetivos!
  • josé gomes dos santossegunda-feira | 29/12/2014 18:56Hs
    boa lição
  • jaemersondomingo | 24/08/2014 10:48Hs
    Gostei como foi explicado a origem das fórmulas. Os professores costumam só colocar as fórmulas, mas não explicam donde surgiram. Parabéns!
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