Cubo da soma e Cubo da diferença

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As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo método da resolução prática. Demonstraremos as duas situações, deixando a critério do estudante optar pela melhor forma de resolução.

Cubo da Soma

Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:

(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3)
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 =
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27

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Regra Prática

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”

(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27

(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8

Cubo da Diferença

O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo.

Regra prática

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”

(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27

(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Escrito por: Marcos Noé Pedro da Silva Professor de Matemática.

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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Cubo da soma e Cubo da diferença"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cubo-soma-cubo-diferenca.htm. Acesso em 23 de setembro de 2025.

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Videoaulas

Lista de exercícios

Exercício 1

Qual das alternativas abaixo é o resultado da soma entre (x + a)³ e (x – a)³?

a) 2x³ + 6xa²

b) x³ – 3x²a + 3xa² – a³

c) x³ + 3x²a + 3xa² + a³

d) 2x³ + 3xa² – 2x³ – 3xa²

e) 4x³ + 6xa²

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Exercício 2

Qual é o resultado da soma entre 3x²a – 3xa² e o produto notável (x – a)³?

a) a³

b) – a³

c) x³

d) x³ – a³

e) x³ – 3x²a

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Exercício 3

Um cubo possui arestas com a medida ax + 2b². Qual é o volume desse cubo?

a) a³x³ + 6a²x²b²

b) 12xab⁴ + 8b⁶

c) a³x³ + 6a²x²b² + 12xab² + 8b³

d) ax³ + 6ax²b² + 12xab² + 8b³

e) a³x³ + 6a²x²b² + 12xab⁴ + 8b⁶

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Exercício 4

Das alternativas a seguir, assinale aquela que diz respeito ao método prático para resolver cubo da diferença corretamente.

a) O cubo do primeiro termo somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo somado ao cubo do segundo termo.

b) O cubo do primeiro termo menos o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo termo.

c) O cubo do primeiro termo somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo termo.

d) O cubo do primeiro termo somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo menos o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo termo.

e) O quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo somado ao quadrado do segundo termo.

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