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Condição de alinhamento de três pontos

Matemática

O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos. Observe os pontos no plano cartesiano a seguir:

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A (x1,y1)
Ponto B (x2,y2)
Ponto C (x3,y3)

Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

x1*y2*1 + y1*1*x3 + 1*x2*x3 – (y1*x2*1 + x1*1*y3 + 1*y2*x3) = 0
x1y2 + y1x3 + x2*x3 – y1x2 – x1y3 – y2x3 = 0


Exemplo 1

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.
Resolução:
Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

 

2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
–14 + 14 = 0
0 = 0

Podemos verificar que os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Análítica - Matemática - Brasil Escola

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • pikachusegunda-feira | 12/09/2011 18:29Hs
    bom ,completo e bem explicativo tirei todas as minhas duvidas ...
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