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Comprimento de um Arco

Matemática

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Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.

Para determinarmos o comprimento de uma circunferência utilizamos a seguinte expressão matemática: C = 2*π*r. A volta completa em uma circunferência é representada por 360º. Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe:

linear

angular

2*π*r

360º

 α



 

Essa expressão pode ser utilizada para determinar o comprimento do arco de uma circunferência de raio r e ângulo central α em graus. Nesses casos utilize π = 3,14.

Caso o ângulo central seja dado em radianos, utilizamos a seguinte expressão: ℓ = α * r.

Exemplo 1

Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm.

ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 cm


O comprimento do arco será de 1,05 centímetros.


Exemplo 2

O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm. Qual será o espaço percorrido pelo ponteiro após 30 minutos?

Veja a figura do relógio:

ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 cm

O espaço percorrido pelo ponteiro dos minutos será de 31,4 centímetros.


Exemplo 3

Determine o comprimento de um arco com ângulo central medindo π/3 contido numa circunferência de 5 cm de raio.

ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 cm



Exemplo 4

Um pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?



ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 cm



O comprimento da trajetória entre A e B é de 3,9 centímetros.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola





DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Gustavoterça-feira | 31/03/2015 16:21Hs
    Muito bom, me ajudou bastante e tirou todas minhas dúvidas! Obrigado!!!
  • Dansexta-feira | 28/11/2014 19:54Hs
    É um ótimo estudo . Pelo menos pra quem já sabe não é ? Esse texto faz relembrar oque já se aprendeu . Agora pra mim que nunca estudei isso , Não entendi nada.. :( Claro que, eu entendo as operações matematicas , pouco , mas entendo . Mas eu não entendi o estudo , nao entendi qual o sentido das coisas , porq isso é aquilo , e porq aquilo é assim.
  • Pedro Henriqueterça-feira | 15/07/2014 19:36Hs
    Bem desenvolvido e simples. Muito bom!
  • Alvarosábado | 08/03/2014 03:14Hs
    Ótimo para relembrar alguns conceitos, e nos fazer pensar além deles, pois os exemplos são bem ilustrativos e didáticos.
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