Topo
pesquisar

Área sob uma Curva

Matemática

PUBLICIDADE

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:


 



Exemplo

Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [-2,2].


Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4.

Para isso precisamos relembrar a seguinte técnica de integração:

 

 

Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2, é de 10,6 unidades de área.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Funções - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro Da. "Área sob uma Curva "; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm>. Acesso em 01 de novembro de 2015.

DEIXE SEU COMENTÁRIO
  • Michel Oliveira Silvasábado | 29/08/2015 17:25Hs
    Artigo muito bom. Só faço uma observação quanto ao Teorema Fundamental do Cálculo: A = Integral Definida [a,b] = F(b)- F(a).
  • Luiz Niderô Pinto Machadosábado | 30/08/2014 05:38Hs
    EQUIPE DO BRASIL ESCOLA MUITO MUITO......OBRIGADO!
  • caiquequinta-feira | 19/12/2013 19:02Hs
    muito bom!!!!!
  • perilo holanda de lucenaquinta-feira | 28/02/2013 17:40Hs
    bastante didático
PUBLICIDADE
PUBLICIDADE
PUBLICIDADE
Cursos Brasil Escola + DE 1000 OPÇÕES >> INVISTA EM SUA CARREIRA! <<
Conteúdos exclusivos sobre geografia infantil
GEOGRAFIA INFANTIL
12x R$ 10,83

sem juros

COMPRAR
AULAS AO VIVO DO ENEM
AULAS AO VIVO DO ENEM
12x R$ 20,83

sem juros

COMPRAR
Motivação a Leitura e a Escrita
CURSO DE FRANCÊS
12x R$ 6,66

sem juros

COMPRAR
PREPARATÓRIO PARA O ENEM
PREPARATÓRIO ENEM 2015
12x R$ 10,83

sem juros

COMPRAR
  • SIGA O BRASIL ESCOLA
R7 Educação