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O estudo da Trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. Em relação ao triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas, e alguns ângulos são usados com maior frequência. Eles recebem o nome de ângulos notáveis, e seus valores correspondem a 30º, 45º e 60º.
Relações trigonométricas
Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: o seno, o cosseno e a tangente.
Seno = cateto oposto
hipotenusa
Cosseno = cateto adjacente
hipotenusa
Tangente = cateto oposto
cateto adjacente
Para demonstrar as relações trigonométricas em um triângulo retângulo com ângulos de 30°e 60°, é preciso obter uma figura como essa que tenha esses dois ângulos.
Valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°
Observe o triângulo equilátero (o qual possui todos os ângulos internos iguais a 60º) ABC, com lado igual a x. Traçar a altura desse triângulo é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.
Portanto, para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:
Com o valor da altura em função de x, e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.
Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do quadrado para formar dois triângulos retângulos, já que a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90° em dois ângulos de 45°. Veja como:
Valores de seno e cosseno de 45°
Considere o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, descobriremos um valor para a diagonal (d) em função de x.
Assim, com o valor da diagonal, é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.
Tabela de razões trigonométricas
Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60° do triângulo retângulo. A partir desses cálculos efetuados, construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas:
Por Luiz Paulo
Graduado em Matemática