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Ângulos Notáveis

No estudo da trigonometria, os ângulos e suas reações trigonométricas com o triângulo retângulo são muito trabalhados. Existem alguns ângulos que são trabalhados com mais freqüência, são chamados ângulos notáveis.

Esses ângulos são de 30°, 45º e 60°. O valor do seu seno, co-seno e tangente são representados de uma forma diferente dos outros ângulos.

Para demonstrarmos o valor do seno, co-seno e tangente desses ângulos é preciso relembrar algumas fórmulas.

Seno, co-seno e tangente são relações trigonométricas feitas em um triângulo retângulo, veja:

cosθ = cateto adjacente
                 hipotenusa

senoθ = cateto oposto
                 hipotenusa

tgθ = cateto oposto
         cateto adjacente

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60° é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo eqüilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Quando traçamos sua altura, é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz do lado  .

Para calcular a sua altura basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

x² = (x / 2)² + h²

x² = x²/ 4 + h²

4x² = 4h² + x²
4            4

4x² = 4h² + x²
4x² – x² = 4h²
3x² = 4h²
3x² = h²
4

√3x² = h
√4

h = x√3
         2

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 60° e de 30º no triângulo AHC.

• seno 60° = Cateto oposto
                         hipotenusa

seno 60° = x√3
                       2
                       x

Seno 60° = x√3 . 1
                         2 x

seno 60° = √3
                      2

• seno 30º = Cateto oposto
                        hipotenusa

seno 30° = x
                     2
                    x

seno 30° = x . 1
                      2 x

seno 30° = 1
                     2

• Cos 60° = cateto adjacente
                          Hipotenusa

Cos 60° = x
                   2
                   x

cos 60° = x . 1
                   3 x

cos 60° = 1
                   2

• Cos 30º = Cateto oposto
                       Hipotenusa

Cos 30° = x√3
                     2
                     x

cos 30° = x√3 . 1
                     3 x

cos 30° = √3
                   2

• tg 30° = cateto oposto
                cateto adjacente

tg 30° = x√3
                 2
                 x

tg 30° = x√3 . 1
                   3 x

tg 30° = √3
                3

• tg 60º = cateto oposto
              cateto adjacente

tg 60° = x√3
                 2
                  x
                  2

tg 60° = x√3 . 2
                 2 x

tg 60º = √3

O triângulo eqüilátero não possui ângulo de 45°, em um quadrado quando traçamos a sua diagonal formamos dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.

d² = x² + x²

d² = 2x²
d = √2x²

d = x√2

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

sen 45º = x
                x√2

sen 45º = 1 . √2 = √2
                  √2 √2       2

sen 45º = √2
                    2

cos 45º = 1 . √2 = √2
                  √2 √2     2

cos 45º = √2
                    2

Dizemos que 30°, 45° e 60º são ângulos notáveis, pois suas relações trigonométricas são visivelmente provadas. Veja agora a relação trigonométrica resumida na tabela abaixo: