Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis são ângulos que comumente estão presentes em situações envolvendo razões trigonométricas. São eles os ângulos de 30º, 45º e 60º. Nesses ângulos, é comum que os valores do seno, do cosseno e da tangente sejam conhecidos e representados na tabela dos valores dos ângulos notáveis. Os ângulos notáveis nos ajudam a resolver problemas que envolvem trigonometria.

Leia também: Teorema de Pitágoras — relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis
• 2 - Videoaula sobre os ângulos notáveis
• 3 - O que são ângulos notáveis?
• 4 - Valores do seno, do cosseno e da tangente
• 5 - Tabela de valores dos ângulos notáveis
• 6 - Como calcular os ângulos notáveis?
• 7 - Exercícios sobre ângulos notáveis

Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis

• Os ângulos notáveis são ângulos que aparecem recorrentemente em problemas envolvendo trigonometria.
• Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º.
• É importante conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis. De modo geral, temos que:
  • sen(30°) = $\frac{1}{2}$               sen(45°) = $\frac{\sqrt2}{2}$                sen(60°) = $\frac{\sqrt3}{2}$
  • cos(30°) = $\frac{\sqrt3}{2}$             cos(45°) = $\frac{\sqrt2}{2}$                 cos(60°) = $\frac{1}{2}$
  • tan(30°) = $\frac{\sqrt3}{3}$              tan(45°) = 1                    tan(60°) = $\sqrt3$

Videoaula sobre os ângulos notáveis

O que são ângulos notáveis?

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são conhecidos como ângulos notáveis por serem os ângulos mais recorrentes em situações que envolvem as razões trigonométricas. Por serem bastante recorrentes, é importante saber qual é o valor do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos.

Valores do seno, do cosseno e da tangente

De modo geral, o seno, o cosseno e a tangente são conhecidos como razões trigonométricas —relações entre lados de um triângulo retângulo. Para compreender o valor do seno, do cosseno e da tangente, veja a imagem a seguir:

Relações de seno, cosseno e tangente de um ângulo.

Analisando a imagem, podemos afirmar que:

• O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ  e a hipotenusa do triângulo.

$sen \theta = \frac {cateto\ oposto}{hipotenusa}$

• O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo θ  e a hipotenusa do triângulo.

$cos \theta = \frac {cateto\ adjacente}{hipotenusa}$

• A tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ  e o cateto adjacente a θ .

$tan \theta = \frac {cateto\ oposto}{cateto\ adjacente}$

Tabela de valores dos ângulos notáveis

Como calcular os ângulos notáveis?

Para demonstrar o valor de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, primeiro analisaremos um triângulo equilátero com a altura h a seguir:

Por Pitágoras, temos que:

$\left( \frac{l}{2} \right)^2 + l^2 = h^2$

$\frac{l^2}{4} + l^2 = h^2$

Invertendo a igualdade temos que:

$h^2 = \frac{l^2}{4} + l^2$

$h^2 = \frac{3l^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3l^2}{4}}$

$h=\frac{√3l}{2}$

Considerando o triângulo AHC.

Começando pelo seno de 30º, temos que:

$sen(30^\circ) = \frac{\overline{HC}}{\overline{AC}}$

$sen(30^\circ) = \frac{\frac{l}{2}}{l}$

$sen(30^\circ) = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{l}$

$sen(30°) = \frac{1}{2}$

Agora, sobre o seno de 60º, temos que:

$sen(60°) = \frac{h}{l}$

Mas sabemos que $h=\frac{√3l}{2}$.

Logo, temos que:

$sen(60°)= \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Agora, calcularemos a tangente de 30º:

$\tan(30°) = \frac{\frac{l}{2}}{\frac{\sqrt{3} l}{2}} = \frac{l}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} l} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan(60°) = \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{\frac{l}{2}} = \frac{\sqrt{3} l}{2} \cdot \frac{2}{l} = \sqrt{3}$

Para demonstrar o seno, o cosseno e a tangente de 45º, faremos um triângulo isósceles de ângulos medindo 45º.

Por Pitágoras, temos que:

$l^2 + l^2 = d^2$

$2 l^2 = d^2$

$d = \sqrt2 l$

Então temos que:

$sen(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(45°) = \frac{l}{l} = 1$

Leia também: Cálculos envolvendo semelhança de triângulos

Exercícios sobre ângulos notáveis

Questão 1

(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

A) 0,5 m

B) 1 m

C) 1,5 m

D) 1,7 m

E) 2 m

Resolução:

Alternativa B

Representando a situação, temos que:

Para calcular o valor de x, aplicaremos o seno de 30º:

$sen(30°) = \frac{x}{2}$

Sabemos que $sen(30°) = \frac{1}{2}$, então temos que:

$\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$

$2x = 2$

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Questão 2

O terreno do Lucca tem o formato de um retângulo cujo lado menor mede 16 m. Sabendo que o ângulo formado entre o lado menor e a diagonal é de 60º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (use √3 = 1,7)

A) 10

B) 16

C) 18

D) 24

E) 32

Resolução:

Alternativa E

Dada a diagonal AC  e aplicando o cosseno de 60°, temos que:

$\cos(60º) = \frac{16}{\overline{AC}}$

$\frac{1}{2} = \frac{16}{\overline{AC}}$

$\overline{AC} = 2 \cdot 16$

$\overline{AC} = 32 m$