Lei do co-seno
Para efetuarmos a resolução de um triângulo é preciso conhecer a lei dos senos e lei dos co-senos. Com essas leis podemos calcular as funções seno e co-seno de qualquer triângulo.
Podemos calcular o valor dos co-senos de qualquer triângulo fazendo uma relação entre seus lados. Essa relação é chamada de lei dos co-senos.
Para demonstrarmos essa lei é preciso considerar um triângulo ABC qualquer e alguns elementos desse triângulo.
Se traçarmos uma reta perpendicular que parte do ponto A até a base AB (formando o ponto H) formaremos a altura h do triângulo ABC. Essa altura divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, AHC e EHB.
Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras nos dois triângulos AHC e EHB, veja:
AHC → b 2 = h2 + x2
EHB → a2 = h2 + (c – x)2 , unindo os dois teoremas de Pitágoras dos dois triângulos teremos:
a2 = h2 + c2 – 2 . c . x + x2 ou a2 = (h2 + x2) + c2 – 2 . c. x
Resolvendo os parênteses teremos: a2 = b2 + c2 – 2 . c . x
Como h2 + x2 = b2, fazendo as devidas substituições teremos: a2 = b2 + c2 – 2 . c . x.
Como o triângulo AHC é retângulo podemos dizer que:
x = cos A ou x = b . cos A.
p
Fazendo a substituição de x = b . cos A em a2 = b2 + c2 – 2 . c . x, logo concluímos que a lei do co-seno é:
a 2 = b2 + c2 – 2 . c . b . cos A
A partir dessa lei podemos encontrar outras que relacionam os co-senos de outros ângulos do triângulo. Essas leis também são consideradas lei dos co-senos.
b 2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B
c 2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
A lei do seno a ser utilizada vai depender dos dados que são fornecidos no exercício.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
Trigonometria - Matemática - Brasil Escola
URL: http://www.brasilescola.com/matematica/lei-coseno.htm