Lei dos senos

Resolver um triângulo significa calcular alguns de seus elementos através de outros elementos dados, isso pode ser feito tanto em um triângulo retângulo como em qualquer outro triângulo.

Aprendemos a calcular o valor da função seno apenas quando formamos triângulos retângulos, mas será que realmente não teria como calcular essa mesma função em um triângulo qualquer? Para encontrarmos o valor de seno em um triângulo qualquer basta aplicar a lei dos senos.

Essa lei é uma relação entre os senos dos três ângulos de um triângulo, veja a demonstração dessa lei abaixo:

Para fazermos essa demonstração temos que considerar um triângulo ABC de lados a, b, c qualquer inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.



O diâmetro é uma reta que parte de uma extremidade da circunferência até outra extremidade e que passa pelo centro dessa mesma circunferência, a circunferência parte do ponto A (é um dos vértices do triângulo ABC) até o ponto A’ (diâmetro da circunferência é o seguimento de reta  ).

Baseados no teorema do ângulo inscrito, observamos o ângulo e , podendo concluir que Â’ ≡ ,

então sen A = sen A’.

O triângulo formado pelo seguimento de reta é formado pelos vértices AA’C é retângulo, então:
sen A’ = b
              2R

Como sen A = sem B, então, sen B = b ou b = 2R. 
                                                                   2R         sen B

Portanto, deduzimos que:   a     e    c
                                               sen A    sen C

Logo, concluímos que:

  a     =      b    =     c       =  2R
sen A   sen B    sen C

Essa lei quer dizer que em qualquer triângulo a razão entre a medida do lado e o seno do ângulo oposto é constante e o valor dessa constante é o diâmetro da circunferência que esse triângulo está inscrito.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola

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