Arcos com Mais de uma Volta

Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos

Considerando dois arcos quaisquer de uma circunferência trigonométrica, cujas medidas são a e b, podemos escrever as seguintes relações:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a Ex.

sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a Ex.

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Ex.

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b Ex.

Ex.

Ex.

Arco duplo

Seno: sen 2x = sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x = 2 . sen x . cos x

Cosseno: cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x = cos²x – sen²x

Tangente:

As fórmulas de arco duplo podem ser interpretadas como fórmulas do arco metade.

Se 2ª = x então

Com isso, temos:

que permite calcular cos x /2 quando conhecemos cos x.

que permite calcular sem x/2 quando conhecemos cos x.

que permite calcular tg x/2 quando conhecemos cos x.


Transformação em Produto

A partir das relações do seno e do cosseno da soma e da diferença de arcos, podemos estabelecer outras fórmulas:

Sen (a + b) + sen (a – b) = 2 . sen a . cos b (I)
Sen (a + b) – sen (a – b) = 2 . sen b . cos a (II)
Cos (a + b) + cos (a – b) = 2 . cos a . cos b (III)
Cos (a + b) – cos (a - b) = -2 . sen a . sen b (IV)

Considerando x = a + b e y = a – b, temos:

Dessa forma, com essas relações, podemos transformar somas e diferenças trigonométricas em produtos.

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola

URL: http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-uma-volta.htm