Sistemas Lineares

Equação Linear

Equação linear é toda equação da forma ax + by = c, onde a e b são os coeficientes e c é o temo independente. Toda equação linear ax + by = c, com a ≠ 0 ou b ≠ 0, admite infinitas soluções.

Sistema Linear

O sistema de duas equações lineares simultâneas nas incógnitas x e y é um conjunto de duas equações lineares simultâneas em x e y:

Considerando o par (x ; y): (α; β) é solução de (S) ↔


(S) pode ser possível e determinado (solução única), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (não existem soluções). Ex.

admite para solução apenas o par (3; 4), logo S é possível e determinado.

dividindo os membros da segunda equação por -3, obtemos par ordenado ( α; α-1), com α R, é solução de (S). Logo, S é possível e indeterminado.

não pode ter valores diferentes de 3 e 10. Portanto S é impossível.


Resolução de Sistemas Normais

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por: Xi = Dxi /D em que i pertence a { 1, 2, 3, ..., n} , D = detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Ex.

Solução:

M = n = 3

Equivalentes e Escalonados

Sistemas Equivalentes

São equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Trocando as equações de posição, obtemos outro sistema equivalente. Ex.

Multiplicando uma ou mais equações por um número k, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Ex.

Adicionando o produto de outra equação a uma das equações desse mesmo sistema por um determinado número, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Ex.

e substituindo a equação II pela soma do produto de I por -1 com II obtemos:

Sistemas Escalonados

Para escalonar um sistema fixamos como primeira equação uma das que possuem o coeficiente da primeira incógnita diferente de zero. Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita das demais equações. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação, repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Ex.

Trocamos de posição a primeira equação com a segunda equação, de modo que o primeiro coeficiente de x seja igual a 1:

anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita a partir da segunda equação, aplicado as propriedades dos sistemas equivalentes.

anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação.

O sistema está escalonado. Como m = n e a última equação -2z = -6 tem solução única, o sistema é possível e determinado.

Matrizes e Determinantes - Matemática - Brasil Escola

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