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Dedução da Terceira Lei de Kepler

Física

O quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol (T2) é diretamente proporcional ao cubo da distância que os separa (r3).

Sabemos que as órbitas dos planetas são elípticas, porém, para a dedução da Terceira Lei de Kepler, vamos considerar uma órbita circular. Apesar da demonstração a seguir ser feita tomando como base órbitas circulares, os resultados também valem para órbitas elípticas.

Na figura temos um planeta orbitando ao redor do Sol. A força centrípeta (Fc) é uma força de origem gravitacional de atração exercida pelo Sol. As forças de atração exercidas entre planetas e satélites são desprezadas, isso se deve ao fato de suas massas serem muito inferiores à massa do Sol.

A força centrípeta Fc é uma força de atração exercida pelo Sol sobre o planeta

Como o planeta de massa (m) orbita ao redor do Sol, em um movimento circular e com velocidade angular ( ), a força resultante sobre o planeta, denominada força centrípeta (Fc), é dada por:

Fc=mω2 r

Em que:

Fc:força centrípeta;
m:massa do planeta;
ω:velocidade angular do planeta;
r:raio da órbita do planeta.

A velocidade angular é dada por:

Em que:

T:período de revolução do planeta.

Substituindo a equação 2 na equação 1, temos:

Note que a força centrípeta é a força de atração gravitacional entre o Sol e o planeta. Assim, considerando a massa do Sol como (M) e o raio da órbita do planeta como (r), que é a distância entre o Sol e o Planeta, a Lei da Gravitação Universal pode ser escrita da seguinte forma:

Em que:

Igualando a equação 3 com a 4, teremos:

Logo:

Observe a equação 5 e note que o termo  é constante, pois as incógnitas referem-se à constante universal e à massa do sol, por esse motivo a equação pode ser reescrita assim:

T2=k r3

Em que:

k:constante de proporcionalidade.

A equação 6 nos diz que o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo da distância que os separa.

Pela equação acima podemos tirar a conclusão de que quanto mais distante o planeta estiver do Sol, maior será o seu período de revolução.

A Terceira lei de Kepler, que acabamos de deduzir, também é válida em relação à Terra  para o movimento da Lua e de satélites artificiais.


Por Nathan Augusto
Graduado em Física

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